Question

17．已知函数$f（x）=\frac{x+a}{{{x^2}+3{a^2}}}（a≠0，a∈R）$．
（1）设函数$g（x）=\frac{{{x^2}+12}}{x+2}{e^x}$，当a=-2时，讨论y=f（x）g（x）的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e^x+x+2＞0
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=1时，若对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出y=f（x）g（x）的解析式，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数的单调性，得到函数的最大值和最小值，求出m的最小值即可．

解答 解：（1）a=-2时，y=$\frac{x-2}{x+2}$e^x，y′=$\frac{{{x}^{2}e}^{x}}{{（x+2）}^{2}}$，
∵当f'（x）＞0时，x＜-2或x＞-2，
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增，
证明：∴x＞0时，$\frac{x-2}{x+2}$e^x＞f（0）=-1，
∴（x-2）e^x+x+2＞0．
（2）f′（x）=$\frac{-（x-a）（x+3a）}{{{（x}^{2}+{3a}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
当a＞0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表：

x	（-∞，-3a）	-3a	（-3a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	Φ	极小值	Γ	极大值	Φ

函数f（x）的单调递增区间是（-3a，a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-3a），（a，+∞）．
当a＜0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-3a）	-3a	（-3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	Φ	极小值	Γ	极大值	Φ

函数f（x）的单调递增区间是（a，-3a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（3）当a=1时，由（1）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．
又当x＞1时，f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$＞0，
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值为f（-3）=-$\frac{1}{6}$，最大值为f（1）=$\frac{1}{2}$，
所以对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），f（x₁）-f（x₂）≤f（1）-f（-3）=$\frac{2}{3}$．
所以对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），使f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立的实数m的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了导数在函数单调性上的应用，考查复合函数的求导法则以及导数代表的意义，考查计算能力，属于中档题．