Question

（本小题满分12分）
如图6，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1。
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C//平面AB₁D；
（3）求二面角B—AB₁—D的正切值。

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）证明见解析。
（3）二面角B—AB₁—D的正切值为

解法一：
证明：（1）因为B₁B⊥平面ABC，AD平面ABC，
所以AD⊥B₁B   （1分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD   （2分）
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁  （3分）
又AD平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁   （4分）
（2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE   （5分）

因为点E为矩形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点  （6分）
又D为BC的中点，所以DE为△A₁BC的中位线，
所以DE//A₁C   （7分）
又DE平面AB₁D，所以A₁C//平面AB₁D   （8分）
（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB₁于G，连接DG。
因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A₁ABB₁。
又AB₁平面A₁ABB₁，所以AB₁⊥DF。
又FG⊥AB₁，所以AB₁⊥平面DFG，所以AB₁⊥DG。  （9分）
又AB₁⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB₁—D的平面角。  （10分）
因为AA₁=AB=1，
所以在正△ABC中，
在  （11分）
所以在   （12分）
解法二：
解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：


（1）证明：由，
得
又BC∩⊥BB₁=B，所以AD⊥平面B₁BCC₁。  （4分）
又AD平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥B₁BCC₁   （5分）
（2）证明：连接A₁B，交AB₁于E，连DE，
因为点E为正方形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点，
即   （6分）

又DE平面AB₁D，所以A₁C//平面AB₁D   （8分）
（3）解：设平面ABB₁的一个法向量为
由   （9分）
设平面AB₁D的一个法向量为
由   （10分）
所以    （11分）
所以，
依图可得二面角B—AB₁—D的正切值为   （12分）