Question

2．设直线l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）交于A，B两点，C为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr²=-4或-14．

Answer 1

分析 求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出弦长，计算△ABC的面积，从而求出直线的斜率与方程．

解答 解：直线l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R），
直线l的方程可化为：（-x+y）+m（x+2y+3）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+2y+3=0}\end{array}\right.$，
直线恒过：（-1，-1）．
圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）的圆心（1，0），半径为：r．
圆心C到直线l的距离为：d=$\frac{|m-1+3m|}{\sqrt{（m-1）^{2}+（2m+1）^{2}}}$=$\frac{|4m-1|}{\sqrt{5{m}^{2}+2m+2}}$；
所以三角形ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}•|AB|•d$≤$\frac{1}{2}$r²，$\frac{1}{2}{r}^{2}$=4，
解得r=2$\sqrt{2}$，此时d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$=2．
所以$\frac{|4m-1|}{\sqrt{5{m}^{2}+2m+2}}$=2，
解得m=$-\frac{1}{2}$或m=-$\frac{7}{2}$
所以，mr²=-4或-28．
故答案为：-4或-28．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，考查了勾股定理的应用问题，是综合性题目．