在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$.曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，0≤φ≤π），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）求C₁的普通方程并指出它的轨迹；
（Ⅱ）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：θ=$\frac{π}{4}$与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

分析（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，0≤φ≤π），消去参数φ可得普通方程，注意y的取值范围．
（II）由半圆C：（x-2）²+y²=4，（0≤y≤2）化为极坐标方程：ρ=4cosθ，θ∈$[0，\frac{π}{2}]$，把$θ=\frac{π}{4}$代入可得|OP|．曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程，进而得到极坐标方程，把θ=$\frac{π}{4}$代入可得：|OQ|．利用|PQ|=|OQ|-|OP|即可得出．

解答解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，0≤φ≤π），
消去参数φ可得普通方程：（x-2）²+y²=4．
∵0≤φ≤π，
∴0≤x≤4，0≤y≤2．
∴它表示上半圆，其图象在x轴的上方及其x轴上的两点（0，0），（4，0）．
（II）由半圆C：（x-2）²+y²=4，（0≤y≤2）化为极坐标方程：ρ=4cosθ，θ∈$[0，\frac{π}{2}]$，
把$θ=\frac{π}{4}$代入可得ρ=4$cos\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$，
∴|OP|=2$\sqrt{2}$．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t化为普通方程：x+y=6，
可得极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ=6，
把θ=$\frac{π}{4}$代入可得：ρ=$\frac{6}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$=|OQ|．
∴|PQ|=|OQ|-|OP|=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．