Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，E、M分别为AB、DE的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A′DE，A′C=4．求证：平面A′DE⊥平面BCD．

Answer 1

分析：依题意，可知△A′DE为等边三角形，连接CE，只需证明CE⊥A′E且CE⊥DE即可．

解答：证明：∵平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，E为AB的中点，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=2．

连接CE，∠ABC=120°，BE=BC=2，
由余弦定理得CE²=BE²+CB²-2BE•BCcos∠ABC=4+4-2×2×2×（-

1

2

）=12，
在△A′EC中，A′E=AE=2，A′C=4，CE=2

3

，满足A′C²=CE²+A′E²，
∴CE⊥A′E；
在△CDE中，同理可证CE⊥DE；
∵A′E∩DE=E，
∴CE⊥平面A′DE，又CE?平面BCD，
∴平面A′DE⊥平面BCD．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，证明CE⊥平面A′DE，是关键，也是难点，考查余弦定理与勾股定理的应用，考查线面垂直的判定，属于中档题．