Question

【题目】已知五边形ABECD由一个直角梯形和一个等边三角形构成（如图1所示），且．将梯形沿着折起（如图2所示），点是的中点，平面

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据平面，得到平面平面，由，得到平面即可.

（2）建立空间直角坐标系，设，分别求得平面EAD和平面EBD的一个法向量，代入公式求解.

（1）因为平面，平面，

所以平面平面，

因为点是的中点，三角形是等边三角形，

所以，且平面平面，

所以平面，

因为平面，

所以；

（2）建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，

，

设平面EAD的一个法向量为，

则有，即，

令，则，

设平面EBD的一个法向量为，

则有，即，

令，则，

所以，

又由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.