Question

【题目】已知，且，且，函数.

（1）如果实数a，b满足，，试判断函数的奇偶性；

（2）设，，判断函数在R上的单调性并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）当时，是偶函数；当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）函数在R上是增函数，证明见解析.

【解析】

（1）讨论，，三种情况，根据奇偶性的定义得到答案.

（2）函数单调递增，设，且，计算得到，得到证明.

（1）由已知，得，，.

若是偶函数，则，即，对任意实数x恒成立，；

若是奇函数，则，即，对任意实数x恒成立，.

综上，当时，是偶函数；当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.

（2），，∴函数是增函数，是减函数.

由知，是增函数，即函数在R上是增函数.

证明如下：设，且，则.

，，，，，，，即，故函数在R上是增函数.