Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数， ， 为自然对数的底数.当时，若， ，不等式成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）3

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于等价于， 对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

试题解析：（1）对函数求导得，

令，得，

当时， ，此时函数单调递减；

当时， ，此时函数单调递增，

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）当时，由（1）可知，

， ，不等式成立等价于当时， 恒成立，

即对恒成立，

因为时，

所以对恒成立，

即对恒成立，

设，

则，

令，则，

当时， ，

所以函数在上单调递增，

而， ，

所以，

所以存在唯一的，使得，即，

当时， ， ，所以函数单调递减；

当时， ， ，所以函数单调递增，

所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，

因为 ，

又，且，

所以的最大整数值是.