Question

12．数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）且S_n=$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$，则S_n的整数部分的所有可能值构成的集合是（　　）

• A． {0，1，2}
• B． {0，1，2，3}
• C． {1，2}
• D． {0，2}

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）．可得：a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，可得：数列{a_n}单调递增．可得a₂=$\frac{13}{9}$，a₃=$\frac{133}{81}$，a₄=$\frac{13477}{6561}$.$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{81}{52}$＞1，$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{6561}{6916}$＜1．另一方面：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，可得S_n=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}）$=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）．
可得：a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，∴a_n+1＞a_n，因此数列{a_n}单调递增．
则a₂-1=$\frac{4}{3}×（\frac{4}{3}-1）$，可得a₂=$\frac{13}{9}$，同理可得：a₃=$\frac{133}{81}$，a₄=$\frac{13477}{6561}$．
$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{81}{52}$＞1，$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{6561}{6916}$＜1，
另一方面：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}）$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
当n=1时，S₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{4}$，其整数部分为0；
当n=2时，S₂=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$=1+$\frac{23}{52}$，其整数部分为1；
当n=3时，S₃=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$+$\frac{81}{133}$=2+$\frac{355}{6561}$，其整数部分为2；
当n≥4时，S_n=2+1-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$∈（2，3），其整数部分为2．
综上可得：S_n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．
故选：A．

点评 本题考查了数列的单调性、递推关系、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．