Question

22.

已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足=，cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

22.本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.

（I）解法一：直线，  ①

过原点垂直的直线方程为，  ②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

  故椭圆C的方程为  ③

解法二：直线.

设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

 

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

  故椭圆C的方程为  ③

（II）解法一：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离

即

即

整理得

当直线m垂直x轴时，也满足.

故直线m的方程为

或或

经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为

或或