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（05年福建卷）（12分）

已知方向向量为的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足，

cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解析：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,     ①

过原点垂直ι的方程为             ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a2=6,c=2,b2=2,故椭圆C的方程为.       ③

(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=,

|MN|=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,


即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

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