Question

10．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]•sinC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a+b+c=1+$\sqrt{2}$，试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式、正弦定理和余弦定理化简已知的式子，化简后由边的关系判断出三角形的形状；
（2）由（1）和条件化简后，由基本不等式化简求出$\sqrt{ab}$的范围，表示三角形的面积，即可求出答案．

解答 解：（1）∵sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]•sinC，
∴sinA+sinB=（cosA+cosB）•sinC，
由正弦定理和余弦定理得，
a+b=（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$）•c，
化简得，2a²b+2ab²=ab²+ac²-a³+ba²+bc²-b³
a²b+ab²=ac²-a³+bc²-b³，
（a+b）（a²+b²-c²）=0，
又a+b＞0，∴a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°；
（2）∵a+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
∴1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$
当且仅当a=b时上式等号成立，则$\sqrt{ab}$≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
即△ABC面积的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的应用：角化边，以及基本不等式求三角形面积最值中的应用，考查转化思想，化简、变形能力．