Question

6．设函数f（x）=|x+$\frac{8}{m}}$|+|x-2m|（m＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a-b|，当且仅当ab≤0取得等号，可得f（x）的最小值；
（2）求得f（1），讨论当1-2m＜0，当1-2m≥0，去掉绝对值，解m的不等式，即可得到所求m的范围．

解答 解：（1）由m＞0，有f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|≥|x+$\frac{8}{m}$-（x-2m）|=|$\frac{8}{m}$+2m|=$\frac{8}{m}$+2m，
当且仅当$（{x+\frac{8}{m}}）（{x-2m}）≤0$时，取等号，
所以f（x）的最小值为$\frac{8}{m}+2m$．
（2）f（1）=|1+$\frac{8}{m}$|+|1-2m|（m＞0），
当1-2m＜0，即$m＞\frac{1}{2}$时，$f（1）=1+\frac{8}{m}-（{1-2m}）=\frac{8}{m}+2m$，
由f（1）＞10，得$\frac{8}{m}+2m＞10$，化简得m²-5m+4＞0，解得m＜1或m＞4，
所以$\frac{1}{2}＜m＜1$或m＞4；
当1-2m≥0，即$0＜m≤\frac{1}{2}$时，$f（1）=1+\frac{8}{m}+（{1-2m}）=2+\frac{8}{m}-2m$，
由f（1）＞10，得$2+\frac{8}{m}-2m＞10$，即（m+2）²＜8，此式在$0＜m≤\frac{1}{2}$时恒成立．
综上，当f（1）＞10时，实数m的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．