Question

12．如图，在三棱锥A-BCD中，三条棱AB、BC、CD两两垂直，且AD与平面BCD成45°角，与平面ABC成30°角．
（1）由该棱锥相邻的两个面组成的二面角中，指出所有的直二面角；
（2）求AC与平面ABD所成角的大小；
（3）求二面角B-AD-C大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ABD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABC，由此能求出所有的直二面角．
（2）设CD=1，推导出∠ADB=45°，∠DAC=30°，AD=2，BD=AB=$\sqrt{2}$，BC=1，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与平面ABD所成角的大小．
（3）求出平面ACD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角B-AD-C大小的余弦值．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，AB⊥CD，又BC∩CD=C，
∴AB⊥平面BCD，
∵AB?平面ABC，AB?ABD，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC⊥平面BCD，
∵CD⊥AB，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，
综上，直二面角有A-BC-D、A-BD-C、B-AC-D．
（2）设CD=1，∵AD与平面BCD成45°角，与平面ABC成30°角，
∴∠ADB=45°，∠DAC=30°，
∴AD=2，BD=AB=$\sqrt{2}$，BC=1，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，1，0），A（0，1，$\sqrt{2}$），C（0，0，0），D（1，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x-y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设AC与平面ABD所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴AC与平面ABD所成角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（3）设平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=b+\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=a-b-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{m}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），
由（2）得平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设二面角B-AD-C大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角B-AD-C大小的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直二面角的判断，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．