Question

9．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，且$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FB}$=2，将此正方形沿DE，DF折起，使点A，C重合于点P，若O为线段EF任一点，DO与平面PEF所成的角为θ，则tanθ的最大值是$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．

Answer 1

分析 根据条件作出折叠后对应的图形，得到∠DOP是OD与底面EFP所成的角，根据DP的定值，则tanθ的最大值等价为OP最小，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为3，$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FB}$=2，
∴AE=CF=2，BE=BF=1，
则EF=$\sqrt{2}$，折叠后对应的图形如图，
则此时EP=FP=AE=2，
∵CD⊥CF，DA⊥AE，
∴折叠后，PD⊥PF，DP⊥PE，
即PD⊥平面EFP，
则∠DOP是OD与底面EFP所成的角，且DP=3，
则tanθ=tan∠DOP=$\frac{DP}{OP}$=$\frac{3}{OP}$，
则要使tanθ最大，则只要OP最小即可，此时OP⊥EF，
即O是EF的中点，
则OE=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OP=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{4-\frac{2}{4}}$=$\sqrt{\frac{14}{4}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
则tanθ的最小值为tanθ=$\frac{3}{\frac{\sqrt{14}}{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{14}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{7}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{14}}{7}$

点评 本题主要考查线面角的计算以及三角函数的最值问题，根据条件作出折叠后的图形，找出线面角，进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．