Question

13．已知函数f（x）是义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+2x．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）解不等式f（x²-2x）+f（3-2x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质得出f（-x）=-f（x），令x=0代入可求f（0）；设x＜0，从而-x＞0，代入当x＞0时的表达式f（x）=x²+2x可得x＜0时的表达式，即可求f（x）在R上的解析式；
（2）不等式f（x²-2x）+f（3-2x²）＜0，转化为x²+2x-3＞0，即可得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），f（0）=-f（0）
∴f（0）=0；
设x＜0，∴-x＞0，
又当x＞0时，f（x）=x²+2x．
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∴-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，函数在R上单调递增，
∵f（x²-2x）+f（3-2x²）＜0．
∴x²-2x+3-2x²＜0，
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＜-3或x＞1}．

点评 本题主要考查函数解析式的求法、解不等式，如果函数具备奇偶性，通常考虑函数的奇偶性在关于原点对称的两个区间上的关系解决．