Question

（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若f（

A

8

）=

6

2

，

AB

•

AC

=12，a=2

7

，且b＜c，求 b、c 的长．

Answer 1

分析：（I）将f（x）展开并运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简整理，可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再利用正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调递减区间；
（II）将

A

8

代入（I）中的关系式，解出A=

π

3

．根据

AB

•

AC

=12列式，可得bc=24，再根据余弦定理结合配方解出b+c=10，由此即可解出b、c的长．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=sin²x+2sincosx+cos²x-2sin²x=-sin²x+cos²x+sin2x
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z），
∴f （x）的单调递减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）f （

A

8

）=

2

sin（

A

4

+

π

4

）=

6

2

，即sin（

A

4

+

π

4

）=

3

2

，
∴

A

4

+

π

4

=

π

3

或

2π

3

，即A=

π

3

或

5π

3

（不符合题意，舍去）．
由

AB

•

AC

=c•b•cosA=12和cosA=

1

2

，得bc=24．①
∵a=2

7

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴将bc=24代入，化简并解之可得b²+c²=52．
∵b²+c²+2bc=（b+c）²=100，b＞0，c＞0，
∴b+c=10，②
联解①②，解之得b=4、c=6或b=6、c=4
∵b＜c，∴b=6、c=4不合题意，舍去
可得 b、c 的长分别为4，6．  …（12分）

点评：本题给出三角函数关系式，求函数的单调减区间并解三角形ABC的b、c 的之长，着重考查了解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．