题目内容
（2013•绵阳二模）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3
，且
•
=6，
与
的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．
| 3 |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积、三角形的面积公式和正切函数的单调性即可求出；
（Ⅱ）利用三角恒等变形及三角函数的单调性即可求出．
（Ⅱ）利用三角恒等变形及三角函数的单调性即可求出．
解答：解：（I）由题意知
•
=|
||
|cosθ=6．
S=
|
| |
|sin(π-θ)=
|
| |
|sinθ
=
|
| |
|cosθtanθ
=
×6tanθ=3tanθ．
∵3≤S≤3
，
∴3≤3tanθ≤3
，∴1≤tanθ≤
．
又∵θ∈[0，π]，∴
≤θ≤
．
（II）∵f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+
sin(2θ+
)．
，∴(2θ+
)∈[
，
]．
∵y=sinx在[
，π]上单调递减，
∴当2θ+
=
，即θ=
时，sin(2θ+
)取得最大值
，
∴f（θ）的最大值为2+
×
=3．
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
S=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
=
| 1 |
| 2 |
∵3≤S≤3
| 3 |
∴3≤3tanθ≤3
| 3 |
| 3 |
又∵θ∈[0，π]，∴
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
（II）∵f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
|
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 11π |
| 12 |
∵y=sinx在[
| π |
| 2 |
∴当2θ+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴f（θ）的最大值为2+
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：熟练掌握向量的数量积运算和三角函数的单调性是解题的关键．
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