Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.

(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.

(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.

(2)设点.

因为AM⊥AN，∴，即,①

当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.

代入椭圆方程消去并整理得：,

②,

根据,代入①整理可得：

将②代入，，

整理化简得,

∵不在直线上，∴，

∴，

于是MN的方程为，

所以直线过定点直线过定点.

当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.

代入得,

结合,解得,

此时直线MN过点,

由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，

所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.

由于，故由中点坐标公式可得.

故存在点，使得|DQ|为定值.