Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，是以为斜边的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，点F满足，.

（1）试探究为何值时，CE//平面BDF，并给予证明；

（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接AC交BD于点M，连接MF，若，则有CE//平面BDF，根据，，求出并证明；

（2）取AB的中点O，连接EO，OD，则.又因为平面平面ABCD，可证得两两垂直，建系设点，用空间直角坐标法求出直线AB与平面BDF所成角的正弦值.

解：（1）当时，CE//平面FBD.

证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF.，因为AB//CD，

所以AM：MC=AB：CD=2：1，又，所以FA：EF=2：1.

所以AM：MC=AF：EF=2：1，所以MF//CE.

又平面BDF，平面BDF，所以CE//平面BDF.

（2）取AB的中点O，连接EO，OD，则.

又因为平面平面ABCD，平面平面平面ABE，

所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以.

由，及AB=2CD，AB//CD，得，

由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD，

所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，

所以，.

所以，

，所以.

设平面BDF的法向量为，则有，所以，

取，得.

设直线AB与平面BDF所成的角为，

则.

即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为.