Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在以A（0，b）为直角顶点且内接于椭圆E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又c²=a²-b²，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，联立解出即可得出．
（2）假设存在这样的等腰直角三角形BAC．直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为AB：y=kx+1（k＞0），则直线AC的方程为$AC：y=-\frac{1}{k}x+1$．将AC的方程代入椭圆x²+4y²-4=0得（1+4k²）x²+8kx=0，利用弦长公式及其△ABC是等腰直角三角形，|AB|=|AC|，解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又c²=a²-b²，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
联立解得a²=4，b²=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）假设存在这样的等腰直角三角形BAC．
明显直线AB的斜率存在，∵A点的坐标为A（0，1），
设直线AB的方程为AB：y=kx+1（k＞0），则直线AC的方程为$AC：y=-\frac{1}{k}x+1$．
将AC的方程代入椭圆x²+4y²-4=0得（1+4k²）x²+8kx=0，
解得x=0，或$x=-\frac{8k}{{1+4{k^2}}}$，
∴B点的纵坐标为$y=-\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+1$．
∴$|AB|=\sqrt{{{（{0+\frac{8k}{{1+4{k^2}}}}）}^2}+{{（{1-（{-\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+1}）}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8k}{{1+4{k^2}}}$．
同理$|AC|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•\frac{{\frac{8}{k}}}{{1+\frac{4}{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{{k^2}+4}}$．
∵△ABC是等腰直角三角形，∴|AB|=|AC|，即$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8k}{{1+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{{k^2}+4}}$，
即$\frac{k}{{1+4{k^2}}}=\frac{1}{{4+{k^2}}}$，
∴k³+4k=1+4k²，即k³-4k²+4k-1=0．
∴（k³-1）+4（k-1）=0，
即（k-1）（k²-3k+1）=0．
∴k=1，或k²-3k+1=0．
∴k=1，或$k=\frac{{3±\sqrt{5}}}{2}$．
∴这样的直角三角形有三个．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系、等腰直角三角形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．