Question

18．己知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x．x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求函数f（x）的单调区间和最值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先对三角函数的关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的整体思想求出函数的单调区间和最值；
（2）首先根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围．

解答 解：（1）（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=2（sin2x•$\frac{1}{2}$-cos2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1
所以：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得：$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
所以由$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，可得递增区间为[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]；
由$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，可得递减区间为[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]；
所以，函数f（x）的最大值为3，最小值为2；
（2）由（1）可得：在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上函数f（x）的最大值为3，最小值为2；
使得|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
即：-2＜f（x）-m＜2，
只需满足f（x）_max-2＜m＜f（x）_min+2即可，
可得：1＜m＜4．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用函数的整体思想求出函数的单调区间，恒成立问题的应用，属于中档题．