Question

18．已知函数f（x）=x-aln x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x=2时，函数f（x）取得极小值，求a的值；
（3）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出即可；
（3）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，结合函数的图象，求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为f（x）=x-alnx，所以$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，若0＜x＜a，f'（x）＜0；若x＞a，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．
（2）因为当x=2时，函数f（x）取得极小值，所以f'（2）=0，即$1-\frac{a}{2}=0$，解得a=2．
（3）当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），函数f（x）至多一个零点，不符合题意．
当a＞0时，由（1）得f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞），
所以f（x）_min=f（a）=a（1-lna）．
当x→0时，f（x）→+∞，所以函数f（x）的图象可知，f（a）=a（1-lna）＜0，解得a＞e，
所以a的取值范围是（e，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．