Question

20．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为平行四边形，且AB=AD=1，AA₁=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∠ABC=60°．
（1）求证：AC⊥BD₁．
（2）求四面体D₁-AB₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD、AC相交于O．证明AC⊥BD，BB₁⊥AC，推出AC⊥平面BB₁D₁D，即可证明AC⊥BD₁．
（2）利用等体积法转化求解即可．

解答 解：（1）证明：连结BD、AC相交于O．
因为四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD，
所以四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD…．（2分）
由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以BB₁⊥平面ABCD，
可知BB₁⊥AC，…．（4分）
则AC⊥平面BB₁D₁D，又BD₁?平面BB₁D₁D，
则AC⊥BD₁…（6分）
（2）${V_{{D_1}A{B_1}C}}={V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}-{V_{{B_1}ABC}}-{V_{{D_1}ACD}}-{V_{{A_1}{A_1}{B_1}{D_1}}}-{V_{C{C_1}{B_1}{D_1}}}$
=${V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}-4{V_{{B_1}ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{3}{{\sqrt{6}}}-4•\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•\frac{3}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力．