Question

（2012•奉贤区二模）已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx，x∈[

π

2

， π]．
（Ⅰ）求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据函数是一个齐次式，利用二倍角公式进行化简，再利用两角和与差的正弦公式化简成Asin（ωx+φ）+B的形式，最后解三角方程即可；
（II）根据（I）化简得到的函数解析式可直接求出函数的最值，特别要注意定义域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x=sin(2x-

π

3

)+

3

2

．
令f（x）=0，得 sin(2x-

π

3

)=-

3

2

．
因为x∈[

π

2

， π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

， 

5π

3

]．…（4分）
所以，当2x-

π

3

=

4π

3

，或2x-

π

3

=

5π

3

时，f（x）=0．
即 x=

5π

6

或x=π时，f（x）=0．
综上，函数f（x）的零点为

5π

6

或π．…（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
当2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

时，f（x）的最大值为

3

；
当2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

时，f（x）的最小值为-1+

3

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及正弦函数的值域，同时考查了计算能力和转化的能力，属于中档题．