Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面平面，为正三角形，为线段的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若与平面所成角的大小为60°，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设，的中点分别为，，连接，，，先证明平面，再通过证明四边形为平行四边形，得到，则可得平面，进而可证明平面平面；

（2）先得到为与平面所成的角，故，再以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求．

（1）设，的中点分别为，，连接，，，

∵为正三角形，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∵，分别为，的中点，

∴，且，

在棱柱中，，，

又∵为的中点，∴，，

∴，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）∵平面平面，

∴在平面内的射影落在上，

∴为与平面所成的角，故，

连接，则点为线段的中点，

∵， 则，

设，则，，

以为原点，分别以，，所在直线为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

∴，，

∵平面平面，平面平面，

，∴平面，

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则

，即，

取，则，，∴，

∴，

∴二面角的余弦值为.

【详睛】

本题主要考查空间面面垂直的判定与性质，线面角的定义以及二面角求法等知识，考查空间想象能力推理论证能力运算求解能力，是中档题.