题目内容
【题目】已知数列的各项均为非零实数,其前
项和为
,且
.
(1)若,求
的值;
(2)若,求证:数列
是等差数列;
(3)若,
,是否存在实数
,使得
对任意正整数
恒成立,若存在,求实数
的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见解析(3)不存在满足条件的实数
,见解析
【解析】
(1)由题得,所以
,得
,即得
的值;
(2)利用累乘法得到,所以数列
是等差数列,首项为
,公差为
,求出
,
,所以
,再证明数列
是等差数列;
(3)原题等价于,不妨设
,即
对任意正整数
(
)恒成立,即
对任意正整数
恒成立,再证明当
且
时,
,即得解.
(1)解:由,令
,得
,
因为数列的各项均为非零实数,所以
,
所以,
所以.
(2)证明:由得:
,
……,
,相乘得:
,
因为数列的各项均为非零实数,所以
,
当时:
,所以
,
即,
即,
因为,所以
,
所以数列是等差数列,首项为
,公差为
,
所以,所以
,
所以,
,所以
,
所以,所以数列
是等差数列.
(3) 解:当,
时,由(2)知
,所以
,即
,
不妨设,则
,
,所以
,
即对任意正整数
(
)恒成立,
则,即
对任意正整数
恒成立,
设,
时,
;
时,
;
时,
;
时,
;
时,
;
当时,
,
所以时,
.
所以时,
,
令或
(舍去).
所以当且
时,
,
所以不存在满足条件的实数.
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