题目内容
【题目】已知.
(Ⅰ)当时,求
的单调区间;
(Ⅱ)设是
的极小值点,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)在
上单调递减,在
上单调递增;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)当时,对函数
求导,再对导函数
进行求导,判断导函数
的单调性,最后利用导函数
的单调性进行判断
的正负性,最后确定
的单调性;
(Ⅱ)对函数求导,再对导函数
进行求导,判断导函数
的单调性,根据极值的定义,结合构造新函数,对新函数进行求导,结合新函数的单调性进行求解即可.
(Ⅰ)当时,
,
,显然
,
设,
,
∵,∴
在
上是增函数,
当时,
,当
时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
(Ⅱ)由,设
,
则,∴
在
上单调递增,
∴存在极小值点满足
,即
,
∴,
令,则
,
当时,
单调递减,
当时,
单调递增,
所以当时,
有最大值,即
,
所以的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】年新型冠状病毒疫情爆发,贵州省教育厅号召全体学生“停课不停学”.自
月
日起,高三年级学生通过收看“阳光校园·空中黔课”进行线上网络学习.为了检测线上网络学习效果,某中学随机抽取
名高三年级学生做“是否准时提交作业”的问卷调查,并组织了一场线上测试,调查发现有
名学生每天准时提交作业,根据他们的线上测试成绩得频率分布直方图(如图
所示);另外
名学生偶尔没有准时提交作业,根据他们的线上测试成绩得茎叶图(如图
所示,单位:分)
(1)成绩不低于分为
等,低于
分为非
等.完成以下列联表,并判断是否有
以上的把握认为成绩取得
等与每天准时提交作业有关?
准时提交作业与成绩等次列联表 | 单位:人 | ||
A等 | 非A等 | 合计 | |
每天准时提交作业 | |||
偶尔没有准时提交作业 | |||
合计 |
(2)成绩低于分为不合格,从这
名学生里成绩不合格的学生中再抽取
人,其中每天准时提交作业的学生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:
【题目】BMI指数(身体质量指数,英文为BodyMassIndex,简称BMI)是衡量人体胖瘦程度的一个标准,BMI=体重(kg)/身高(m)的平方.根据中国肥胖问题工作组标准,当BMI≥28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况,其中有200名高血压患者,被调查者的频率分布直方图如下:
(1)求被调查者中肥胖人群的BMI平均值;
(2)填写下面列联表,并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
肥胖 | 不肥胖 | 合计 | |
高血压 | |||
非高血压 | |||
合计 |
附:,
【题目】某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年,各自随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的检测数据进行分析,若空气质量指数值在[0,300]内为合格,否则为不合格.表1是甲方案检测数据样本的频数分布表,如图是乙方案检测数据样本的频率分布直方图.
表1:
API值 | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] | (250,300] | 大于300 |
天数 | 9 | 13 | 19 | 30 | 14 | 11 | 4 |
(1)将频率视为概率,求乙方案样本的频率分布直方图中的值,以及乙方案样本的空气质量不合格天数;
(2)求乙方案样木的中位数;
(3)填写下面2×2列联表(如表2),并根据列联表判断是否有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关.
表2:
甲方案 | 乙方案 | 合计 | |
合格天数 | _______ | _______ | _______ |
不合格天数 | _______ | _______ | _______ |
合计 | _______ | _______ | _______ |
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |