题目内容
【题目】已知函数(
).其中常数
是自然对数的底数.
(1)若,求
在
上的极大值点;
(2)(i)证明在
上单调递增;
(ii)求关于x的方程在
上的实数解的个数.
【答案】(1)极大值点为(2)(i)证明见解析;(ii)实数解的个数为2
【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,求出函数的极值点即可;
(2)只需证明
,问题转化为只需证明
,令
,
,
,结合函数的单调性证明即可;
求出
,再证明函数
的最大值
;令函数
,
,先求函数
在
上的零点个数,再求函数
在
上的零点的个数,从而求出方程解的个数.
解:(1)易知,
若,则
,所以可得下表:
x | |||
+ | 0 | - | |
↗ | 极大值 | ↘ |
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减
∴函数的极大值点为
.
(2)(i)∵,∴在
上必存在唯一实数
,使得
,
∴易知函数在
上单调递增,在
上单调递减,
欲证明在
上单调递增,只需证明:
,
∵,∴
,故只需证明
,
令,
,则
,
∴函数在
上单调递减,
∴当时,
,
∴,即
,亦即
.
∴函数在
上单调递增.
(ii)先证明当时,有
,
令,
,则
,
,
∴函数在
上单调递增,
∴当时,
,即
,
再证明函数的最大值
,
显然,∴
,
,
∵,∴
,
下证,令
,则
,
即证(
),即证
(
),
令,则
,∴函数
为单调递增函数,
∴当时,
,∴
(
),
∴,
令函数,
,
先求函数在
上的零点个数,
∵,
,且函数
在
上单调递减
∴函数在
上有唯一零点,即函数
在
上的零点个数为1:
再求函数在
上的零点个数,
∵,
,且函数
在
上单调递增,
∴①当时,
,即
,故函数
在
上没有零点,
即函数在
上的零点个数为0;
②当时,
,即
,故函数
在
上有唯一零点,
即函数在
上的零点个数为1:
综上所述,当时,函数
的零点个数为1:
当时,函数
的零点个数为2,
∴当时,关于x的方程
在
上的实数解的个数为1:
当时,关于x的方程
在
上的实数解的个数为2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目