Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且

AP

•

AQ

=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）圆M的圆心为（3，1），半径r=

3

．直线AF的方程为x+cy-c=0，由直线AF与圆M相切，得c²=2，a²=c²+1=3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）法一：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为y=-

1

k

x+1．联立

y=kx+1 x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kx=0，求得点P(

-6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

)，点Q(

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

)，由此能证明直线l过定点(0，-

1

2

)．
（Ⅱ）法二：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），联立

y=kx+t x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6ktx+3（t²-1）=0．由

AP

•

AQ

=0，利用韦达定理证明直线l过定点(0，-

1

2

)．

解答： （I）解：圆M的圆心为（3，1），半径r=

3

．…（2分）
由题意知A（0，1），F（c，0），
直线AF的方程为

x

c

+y=1，即x+cy-c=0，…（4分）
由直线AF与圆M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
解得c²=2，a²=c²+1=3，
故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）证法一：由

AP

•

AQ

=0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
故可设直线AP的方程为y=kx+1，
直线AQ的方程为y=-

1

k

x+1．
联立

y=kx+1 x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kx=0，…（7分）
解得x=0或x=

-6k

1+3k2

，故点P的坐标为(

-6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

)，
同理，点Q的坐标为(

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

)，…（9分）
∴直线l的斜率为

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k k2+3 - -6k 1+3k2

=

k2-1

4k

，…（10分）
∴直线l的方程为y=

k2-1

4k

(x-

6k

k2+3

)+

k2-3

k2+3

，
即y=

k2-1

4k

x-

1

2

．…（11分）
所以直线l过定点(0，-

1

2

)．…（12分）
（Ⅱ）证法二：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，
故可设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），
联立

y=kx+t x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6ktx+3（t²-1）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-6kt

1+3k2

，x1x2=

3(t2-1)

1+3k2

，（*）
由△=（6kt）²-4（1+3k²）×3（t²-1）＞0，得3k²＞t²-1．…（9分）
由

AP

•

AQ

=0，
得

AP

•

AQ

=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0，
将（*）代入，得t=-

1

2

，…（11分）
所以直线l过定点(0，-

1

2

)．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．