Question

等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图2).
（1）求证:平面；
（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)参考解析； （2）

试题分析：(1) 由，等边三角形的边长为3.所以可得,所以在三角形ADE翻折过程中始终成立.又由于成直二面角.由平面与平面垂直的性质定理可得平面.
（2）由于平面平面BCED.假设存在点P，过点P作BD的垂线，垂足为H.则为所求的角.假设BP的长为x，根据题意分别求出相应的线段.即可得结论.
(1) 因为等边△的边长为3,且,
所以,．
在△中,,
由余弦定理得．
因为,
所以．             （4分）
折叠后有  

因为二面角是直二面角,所以平面平面  
又平面平面,平面,,
所以平面                                         （6分）
（2）由(1)的证明,可知,平面．
以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图

设,
则,,  
所以,,  
所以          （8分）
因为平面,
所以平面的一个法向量为  
因为直线与平面所成的角为,
所以  
,                               （10分）
解得  
即,满足,符合题意  
所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时    （12分）