题目内容
已知点A、D分别在x轴、y轴上滑动的平行四边形ABCD，∠BAD=
，AB=1，AD=2．则
•
（O为坐标原点）的最大值是 ．
| π |
| 3 |
| OB |
| OC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：利用向量的三角形法则、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．
解答：
解：如图所示，
设∠OAD=θ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
=
．
∵
⊥
，∴
•
=0．
∵
=
+
，
=
+
．
∠BAD=
，AB=1，AD=2．
∴
•
=(
+
)•(
+
)
=
•
+
•
+
2+1
=2cosθ•1•cos(π-θ-
)+2sinθ•1•cos[π-(
-θ)-
]+1
=-2cosθcos(θ+
)+2sinθcos(θ-
)+1
=2cosθsin(θ-
)+2sinθcos(θ-
)+1
=2sin(2θ-
)+1≤3．
因此则
•
（O为坐标原点）的最大值是3．
故答案为：3．
设∠OAD=θ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
| AB |
| DC |
∵
| OA |
| OD |
| OA |
| OD |
∵
| OB |
| OA |
| AB |
| OC |
| OD |
| DC |
∠BAD=
| π |
| 3 |
∴
| OB |
| OC |
| OA |
| DC |
| OD |
| DC |
=
| OA |
| DC |
| OD |
| DC |
| DC |
=2cosθ•1•cos(π-θ-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
=-2cosθcos(θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
=2cosθsin(θ-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=2sin(2θ-
| π |
| 6 |
因此则
| OB |
| OC |
故答案为：3．
点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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