Question

17．（Ⅰ）已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³；
（Ⅱ）已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}{b}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）≥8$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用基本不等式，累乘即可得证；
（Ⅱ）由a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1，将不等式的左边变形后，再由基本不等式，累乘即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）a，b∈R⁺，a+b≥2$\sqrt{ab}$，
a²+b²≥2ab，a³+b³≥2$\sqrt{{a}^{3}{b}^{3}}$，
三式相乘可得，（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³，
当且仅当a=b取得等号；
（Ⅱ）a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1，
可得$\frac{1}{a}$-1=$\frac{b+c}{a}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$，$\frac{1}{b}$-1=$\frac{a+c}{b}$≥$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$，
$\frac{1}{c}$-1=$\frac{a+b}{c}$≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$，
相乘可得，$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，
则有$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}{b}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）≥8$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累乘法，属于中档题．