Question

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

Answer 1

解:(Ⅰ)  设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.

观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为.

所以P(A) = .

因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

(Ⅱ)  X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为.

当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = .

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) = .

当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) = .

当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = .

X的分布列如下表:

X	0	1	2	3
P

 

所以,数学期望