题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且
．
证明：
；
求平面
与平面
所成二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出
，
，从而
平面PBE，由此能证明
．
，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系
，求出各点的坐标，再求出平面PBC的一个法向量
1，
，利用向量法即可求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．
证明：取AD的中点E，连结PE， BE，BD，
四边形ABCD是菱形，
，
是等边三角形，
，
同理，得，
又
，
平面PBE，
平面PBE，
平面PBE，
又
平面PBE，
．
平面
平面ABCD，
由可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题意得
，
则
0，
，
，
，
0，
，
，
，
，
设平面PBC的一个法向量
y，
，
由
，取
，得1，，
由得
是平面PAD的一个法向量，
，
，
，
平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为．
发散思维新课堂系列答案
【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指数 |
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|
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空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（Ⅰ）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？
（Ⅱ）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1000元，空气质量等量等级为3级时每天需净化空气的费用为2000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3000元的概率.
