Question

【题目】已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.

（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；

（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；

（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.

Answer 1

【答案】（1）； （2） （3），.

【解析】

（1）根据题意求出A、B两点坐标，即得线段AB的长；

（2）先列函数关系式，再根据二次函数确定最小值取法，即得t的取值范围；

（3）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理求,解得C点坐标（用m表示），代入双曲线方程解得m的值和点C的坐标.

（1）因为，所以令得

（2）,设，

则

由题意得时取最小值，所以

（3）由，得，设，则，所以，

因为在上，所以

因为点C在双曲线右支上，所以