Question

已知f（n）=sin

nπ

4

，n∈Z．
（1）求证：f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）f（n）=sin

nπ

4

为周期函数，且T=

2π

π 4

=8，即有f（n+8）=f（n），即可得证；
（2）求出f（1），f（2），…f（8）的值，再由周期8，算出2013项中周期的个数，即可计算．

解答： （1）证明：f（n）=sin

nπ

4

为周期函数，且T=

2π

π 4

=8，即有f（n+8）=f（n），
则f（9）=f（1），f（10）=f（2），…，f（16）=f（8），
则有f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）解：由于f（1）=

2

2

，f（2）=sin

π

2

=1，f（3）=sin

3π

4

=

2

2

，f（4）=sinπ=0，
f（5）=sin

5π

4

=-

2

2

，f（6）=sin

3π

2

=-1，f（7）=sin

7π

4

=-

2

2

，f（8）=sin2π=0．
则f（1）+f（2）+…+f（8）=0，
且2013=8×251+5，
则f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）+f（2）+…+f（5）=1+

2

2

．

点评：本题考查函数的周期性及运用，考查三角函数的求值，考查运算能力，属于中档题．