Question

11．已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），当ab取得最小值时，曲线$\frac{x|x|}{a}-\frac{y|y|}{b}=1$上的点到直线$y=\sqrt{2}x$的距离的取值范围为（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．

Answer 1

分析 利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．

解答 解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），
∴ab=2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，化为$\sqrt{ab}$（$\sqrt{ab}$-2$\sqrt{2}$）≥0，
∴$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，
解得ab≥8．
当且仅当b=2a=4时取等号．
∴曲线为$\frac{x|x|}{2}$-$\frac{y|y|}{4}$=1．
画出图形：由图形可知：直线y=$\sqrt{2}$x分别是曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，曲线-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线．因此点到直线y=$\sqrt{2}$x的距离d＞0．
设直线y=$\sqrt{2}$x+m与曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（x≥0，y≤0）相切．
联立化为$4{x}^{2}+2\sqrt{2}mx+{m}^{2}-4=0$，
令△=8m²-16（m²-4）=0，解得m=-2$\sqrt{2}$．
∴切线为y=$\sqrt{2}x-2\sqrt{2}$．
两平行线y=$\sqrt{2}x-2\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$x的距离d=$\frac{|0+2\sqrt{2}|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴曲线$\frac{x|x|}{a}-\frac{y|y|}{b}=1$上的点到直线$y=\sqrt{2}x$的距离取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．
故答案为（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．

点评 本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．