Question

10．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有$\frac{x}{1-i}$=1+yi，$\overline{z}$是z的共轭复数，则$\frac{|z|}{\overline{z}}$的虚部为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$i
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$i

Answer 1

分析 先由复数代数形式的乘除运算化简$\frac{x}{1-i}$，再由复数相等的条件求出实数x、y的值，得到复数z，求出$\overline{z}$，再由复数求模公式得到|z|，代入$\frac{|z|}{\overline{z}}$，然后运用复数的除法运算化简即可得答案．

解答 解：∵复数z=x+yi（x、y∈R），且有$\frac{x}{1-i}$=1+yi，
∴$\frac{x}{1-i}=\frac{x（1+i）}{（1-i）（1+i）}=\frac{x（1+i）}{2}=1+yi$．
∴x+xi=2+2yi
∴x=2y=2．
解得：y=1，x=2．
则z=2+i，|z|=|2+i|=$\sqrt{5}$，$\overline{z}=2-i$．
∴$\frac{|z|}{\overline{z}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2-i}=\frac{\sqrt{5}（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}i}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}i$．
则$\frac{|z|}{\overline{z}}$的虚部为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了两个复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题．