Question

1．给出下列命题：
①向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量；
③若$\overrightarrow a=\overrightarrow b，\overrightarrow b=\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow c$；
④若一个向量的模为0，则该向量与任一向量平行；
⑤若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$共线，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$共线
⑥若S_n=$sin\frac{π}{7}+sin\frac{2π}{7}+…+sin\frac{nπ}{7}$（n∈N^*），则在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是72个．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据向量关系的性质进行判断，
②单位向量的方向不一定相同，
③根据相等向量的定义进行判断，
④模长为0的向量为零向量，
⑤当$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{0}$时，结论不成立，
⑥由于sin$\frac{π}{7}$＞0，sin$\frac{2π}{7}$＞0，…sin$\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$＜0，…sin$\frac{13π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，可得到S₁＞0，…S₁₃=0，而S₁₄=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．

解答 解：①向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$是共线向量，则$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，但A、B、C、D四点不一定在一直线上，故①错误；
②两个单位向量是相等向量错误，长度相等，但方向不一定相同，故②错误；
③若$\overrightarrow a=\overrightarrow b，\overrightarrow b=\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow c$；正确，故③正确，
④若一个向量的模为0，则该向量为零向量，零向量与任一向量平行，故④正确，
⑤若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$共线，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$共线，错误，当$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{0}$时，结论不成立，故⑤错误，
⑥∵sin$\frac{π}{7}$＞0，sin$\frac{2π}{7}$＞0，…sin$\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$＜0，…sin$\frac{13π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，
∴S₁=sin$\frac{π}{7}$＞0，
S₂=sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$＞0，
…，
S₈=sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…sin$\frac{6π}{7}$+sin$\frac{7π}{7}$+sin$\frac{8π}{7}$=sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{6π}{7}$+sin$\frac{7π}{7}$＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{6π}{7}$+sin$\frac{7π}{7}$+sin$\frac{8π}{7}$+sin$\frac{9π}{7}$+…+sin$\frac{13π}{7}$=0，
S₁₄=S₁₃+sin$\frac{14π}{7}$=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin$\frac{15π}{7}$=0+sin$\frac{π}{7}$=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是86．故⑥错误，
故正确的是③④，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及向量的有关概念和性质，考查学生的运算和推理能力．