Question

20．已知圆C₁：（x-3）²+（y-3）²=18，过A（-3，0）的直线l交圆C₁于M，N两点．
（1）若△C₁MN为直角三角形，求直线l的方程；
（2）若圆C₂过点A且与圆C₁切于坐标原点，求圆C₂的标准方程．

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率不存在时显然不合题意，设l：y=k（x+3），当∠MC₁N=90°时，圆心C₂到直线l得距离为3，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；
（2）圆C₂的圆心在直线$x=-\frac{3}{2}$上，同时也在直线y=x上，确定圆心与半径，即可求圆C₂的标准方程．

解答 解：（1）当直线l的斜率不存在时显然不合题意，
设l：y=k（x+3），…1分
当∠MC₁N=90°时，圆心C₂到直线l得距离为3，…3分
$\frac{|3k-3+3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=3⇒\frac{|2k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，
解得：k=0或$k=\frac{4}{3}$，…5分
所以直线方程为：y=0或4x-3y+12=0．…7分
（2）可知圆C₁和圆C₂相外切，…8分
圆C₂的圆心在直线$x=-\frac{3}{2}$上，…10分
同时也在直线y=x上，…12分
得${C_2}（-\frac{3}{2}，-\frac{3}{2}）$，$r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，…14分
圆C₂：${（x+\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{9}{2}$．…16分．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．