Question

某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭（明星爸爸及其孩子）一起参加50米趣味赛跑活动．已知这三组家庭的各方面情况几乎相同，要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑，直至完成比赛．记这三位爸爸分别为A、B、C，其孩子相应记为a，b，c．
（Ⅰ）若A、B、C、a为前四名，求第二名为孩子a的概率；
（Ⅱ）设孩子a的成绩是第X名，求随机变量X的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意，可将上述问题转化为：A、B、C、a的成绩进行了四步骤排序，分类列举，即可求第二名为孩子a的概率；
（Ⅱ）设孩子a的成绩是第X名，求出相应的概率，即可求随机变量X的分布列与数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，可将上述问题转化为：A、B、C、a的成绩进行了四步骤排序，
分类列举（不考虑D、F）：
若a第2名，则A必在第一名，故有

A

2 2

=2种．
若a第3名，则A在a前，故有

C

1 2

A

2 2

=4种．
若a第4名，则有

A

3 3

=6种．
故第二名为孩子a的概率是P=

2

12

=

1

6

．
（Ⅱ）由题意，可将上述问题转化为A、B、C、a、b、c进行了排序，且要求A在a前，B在b前，C在c前．孩子a的成绩可以是第2名、第3名、第4名、第5名、第6名．
即X=2，3，4，5，6
P（X=2）=

C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

1

15

，P（X=3）=

C 1 2 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

2

15

，P（X=4）=

C 1 3 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

3

15

，
P（X=5）=

C 1 4 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

4

15

，P（X=6）=

C 1 4 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

5

15

．

X	2	3	4	5	6
P	1 15	2 15	3 15	4 15	5 15

∴EX=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

3

15

+5×

4

15

+6×

5

15

=

14

3

．

点评：熟练掌握分布列和数学期望及其排列与组合的计算公式是解题的关键．