题目内容
已知离心率为
的椭圆C：
过点
，O为坐标原点（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：
的一条切线，求证：
．
【答案】分析：（1）由离心率可得a2=2b2，故椭圆的方程为 
，把点M的坐标代入可得b2的值，从而得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形，
．当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，由切线的性质可得3b2=8+8k2 ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系，计算OA和OB的斜率之积等于-1，从而得到
．
解答：解：（1）由题意可得
=
，∴a2=2b2，故椭圆的方程为 
，把点M的坐标代入可得b2=4，a2=8，故椭圆方程为 
．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=
，代入椭圆的方程可得A（
，-
），
B（
，
），显然AOB为等腰直角三角形，
．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得
=
，3b2=8+8k2 ①，
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2-8=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
，故OA 和OB的斜率之积等于
=
=
，又由①得 8k2=3b2-8，
故OA 和OB的斜率之积等于
=-1，∴OA⊥OB，∴
．
点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
证明OA 和OB的斜率之积等于-1，是解题的难点和关键．
，把点M的坐标代入可得b2的值，从而得到椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形，
．当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，由切线的性质可得3b2=8+8k2 ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系，计算OA和OB的斜率之积等于-1，从而得到
．解答：解：（1）由题意可得
=
，∴a2=2b2，故椭圆的方程为 
，把点M的坐标代入可得b2=4，a2=8，故椭圆方程为 
．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=
，代入椭圆的方程可得A（
，-
），B（
，
），显然AOB为等腰直角三角形，
．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得
=
，3b2=8+8k2 ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2-8=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
，故OA 和OB的斜率之积等于 
=
=
，又由①得 8k2=3b2-8，故OA 和OB的斜率之积等于
=-1，∴OA⊥OB，∴
．点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
证明OA 和OB的斜率之积等于-1，是解题的难点和关键．
练习册系列答案
相关题目
的椭圆C：
的左顶点为A，上顶点为B，且点B在圆M：
上.
，求直线l的方程.
的椭圆C：
过（1，
）
的椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点M（
，1，O是坐标原点．
⊥
，判定直线AB与圆O：x2+y2=
的位置关系，并证明你的结论．
为的椭圆C：
（a＞b＞0）与过点A（5，0），B（0，
）的直线有且只有一个公共点M．
，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
的椭圆C：
的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x2+y2=1所得弦长为
．
．试探究
的取值范围．