题目内容
【题目】已知椭圆
的上顶点为
，且过点
．
（1）求椭圆
的方程及其离心率；
（2）斜率为
的直线
与椭圆交于
两个不同的点，当直线
的斜率之积是不为0的定值时，求此时
的面积的最大值．
【答案】（1）
，
；（2）1
【解析】
试题（1）由题意易得
，将点
代入到椭圆方程可得
的值，即可得椭圆的方程及其离心率；（2）设直线
的方程为
，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理，将
化简为
，根据其为定值得
的值，然后利用弦长公式将
表示为关于
的函数，利用二次函数的性质可得结果.
试题解析：（1）由题意可得．
又在椭圆
上，所以
，解得
，
所以椭圆的方程为
，
所以
，故椭圆的离心率
.
（2）设直线的方程为．
由
，消去
，得
，
所以
，
设
，则
．
，
由题意，
为定值，所以
，即
，解得
．
此时
， 点
到直线
的距离
．
．
显然，当
（此时，满足
），即
时，
取得最大值，最大值为
．
练习册系列答案
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知y对x呈线性相关关系.
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程
的回归系数a，b；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
