Question

如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，且相交于点O，E是AB边的中点，EO的延长线交CD于F．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）若∠ABD=30°，求证S_△ODF：S_△ODC=1：4．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：选作题,立体几何

分析：（1）先证明△AOB≌△DOC，从而得出∠ODC=∠OAB，进而可以证明结论；
（2）先证明△DOC∽△DFO，利用面积比等于相似比的平方比即可证明．

解答： 证明：（1）∵△AOB为直角三角形，且E 为AB边的中点，∴EA=EB，∴∠EAO=∠EOA，∠EOB=∠EBO，
又△AOB≌△DOC，∴∠ODC=∠OAB，
∠EOB=∠DOF（对顶角），∴∠ODC+∠DOF=90°
∴∠DFO=90°
∴EF⊥CD
（2）∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°，
∴在Rt△DOF中，DF=

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OD，△DOC∽△DFO，
∴根据面积比等于相似比的平方比，知S_△ODF：S_△ODC=1：4

点评：本小题主要考查相似三角形的性质，考查三角形全等证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．