Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（Ⅰ）若sin（

π

4

+α）=

2

2

，且0＜α＜π，求f（α）的值；
（Ⅱ）当f（x）取得最小值时，求自变量x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由α得范围求得

π

4

+α的范围，再由sin（

π

4

+α）=

2

2

求得α的值，把α代入f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

求得f（α）的值；
（Ⅱ）化简f（x）为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，求其最小值并得到使y取得最小值时的自变量x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴

π

4

＜

π

4

+α＜

5π

4

．
∵sin（

π

4

+α）=

2

2

，
∴

π

4

+α=

3π

4

，即α=

π

2

．
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-

1

2

=cos

π

2

（sin

π

2

+cos

π

2

）-

1

2

=-

1

2

；
（Ⅱ）f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，
即x=kπ-

3π

8

，k∈Z时，f（x）取得最小值，
此时自变量x的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了三角函数的倍角公式与和差化积公式，考查了三角函数的最值，是中档题．