Question

6．已知集合A={x||x-1|≥a}，B={x|2x-1＜3x+5且5x-2＜3x+6}，求证：A∩B=∅的充要条件是a≥7．

Answer 1

分析 先求出关于集合A，B的x的范围，结合A∩B=∅，得到不等式组，解出a的范围，进而可证．

解答 证明：集合A={x||x-1|≥a}={x|x＞1+a或x＜1-a}，
∵B={x|2x-1＜3x+5且5x-2＜3x+6}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜3x+5}\\{5x-2＜3x+6}\end{array}\right.$，解得：-6＜x＜4，
∴B={x|-6＜x＜4}
∵A∩B=∅，
∴1-a≤-6且1+a≥4
∴a≥7且a≥3
∴a≥7．

点评 本题考查了充分必要条件，考查空集的定义，是一道基础题．