Question

已知数列满足，．
（1）求的值，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：．

Answer 1

（1）猜想，证明详见解析；（2）证明详见解析.

解析试题分析：（1）根据递推关系，依次附值即可得到的取值，进而作出猜想，然后再用数学归纳法证明即可；（2）先化简，进而采用放缩法得到，进而将取1，2，3，……，时的不等式相乘即可证明不等式，然后构造函数，确定该函数在区间上的单调性，进而得到在恒成立，从而可得即，问题得以证明.
（1）令可知，，
猜想，下用数学归纳法证明.
（1）时，显然成立；
（2）假设时，命题成立.即.
当时，由题可知.
故时，命题也成立.
由（1）（2）可知，.
（2）证明：∵


∴
由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即
所以.
考点：1.数学归纳法；2.数列不等式的证明——放缩法、构造函数法、数学归纳法等.