Question

12．圆心M在直线y=x上，圆与直线x-2y+6=0相切于点（0，3）．
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l：x-y+b=0与圆M相交于不同两点A、B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设圆心坐标是（m，m），由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求得m值，则圆的方程可求；
（2）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B两点横纵坐标的积，代入向量数量积的坐标运算得答案．

解答 解：（1）由题意设圆心坐标是（m，m），
则$\frac{|m-2m+6|}{\sqrt{5}}=\sqrt{{m}^{2}+（m-3）^{2}}$，
即（6-m）²=5[m²+（m-3）²]
解得：m=1．
∴圆的半径r=$\frac{|6-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，
∴圆M的方程为（x-1）²+（y-1）²=5；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+b=0}\\{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$，得2x²+2（b-2）x+b²-2b-3=0，
∵直线与圆有两个不同交点，∴△=4（b-2）²-8（b²-2b-3）＞0，
解得：$-\sqrt{10}＜b＜\sqrt{10}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2-b，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}-2b-3}{2}$，
因此y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=${x}_{1}{x}_{2}+b（{x}_{1}+{x}_{2}）+{b}^{2}$=$\frac{{b}^{2}+2b-3}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-3，
∵$-\sqrt{10}＜b＜\sqrt{10}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈[-3，7）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了“舍而不求”的解题思想方法，是中档题．