给出下列命题:①函数$f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$既是奇函数.又是偶函数,②f=\frac{x^2}{x}$为同一函数,③定义在R上的奇函数f上单调递减.则f上单调递减,④函数$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$的值域为$[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}.\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$,其中正确命题的序号� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．给出下列命题：
①函数$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$既是奇函数，又是偶函数；
②f（x）=x和$g（x）=\frac{x^2}{x}$为同一函数；
③定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，则f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
④函数$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$的值域为$[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$；
其中正确命题的序号是④．（写出所有正确命题的序号）

分析化简函数解析式判断①；由函数的定义域不同判断②；举例说明③错误；分类求解函数的值域判断④．

解答解：对于①，由$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，得x=1，∴$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$=0（x=1），
则函数$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$既不是奇函数，也不是偶函数．故①错误；
对于②，f（x）=x的定义域为R，$g（x）=\frac{x^2}{x}$的定义域为{x|x≠0}，∴f（x）=x和$g（x）=\frac{x^2}{x}$不是同一函数．故②错误；
对于③，定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，则f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，错误．如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$；
对于④，函数$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$，当x=0时，y=0；当x＞0时，y=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}∈（0，\frac{\sqrt{2}}{4}]$；当x＜0时，$y=\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}∈[-\frac{\sqrt{2}}{4}，0）$．
∴函数$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$的值域为$[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$．故④正确．
故答案为：④．

点评本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的奇偶性和单调性，训练了函数值域的求法，是中档题．